lunes, 8 de octubre de 2012

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS Y FUNCIONES.


Definición de conjuntos.

Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa una letra mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos.
Existen dos maneras de definir un conjunto dado:
a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.
b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).

Por comprensión
Por extensión
A = {Números dígitos}
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {Números pares]
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
C = {Múltiplos de 5}
C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

Relaciones y funciones



En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.   
Definición matemática de Relación y de Función
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido. Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática.
Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones.
Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo.
Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
                                        A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
                                        R1 =  {(2, 1), (3, 1)}
                                        R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
                                        R3 =  {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {(x, y) / y = 1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}
Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación
                                     R =  {(x, y) / x + y = 3}
Solución
El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados
                                      C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6),  (–3, 2), (–3, 3),  (–3, 6)}
Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:
                                     R =  {(1, 2), (–3, 6)}
Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión  x + y = 3  es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.
Dominio y rango de una relación                     
El dominio de una relación es el conjunto de pre imágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo 3 
Sea A = {1, 2, 3, 4}  y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y  es el doble de x” o  “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B =  {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
                                                 R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es pre imagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
                                              D = {2, 3, 4}
                                              Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
Representación gráfica de las relaciones
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Si  A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y  R la relación definida por la regla      
R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar  R.

Solución
Los pares ordenados que pertenecen  a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
                                        R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}


Dominio de una función:

Es el conjunto formado por los  elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” (variable  independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos  en el eje horizontal   (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda  a derecha.
El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X”  (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).

Rango de una función

Es el conjunto formado por las imágenes.
Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso  se denomina  “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".
Gráficamente lo miramos en el eje  vertical  (ordenadas), leyendo de  abajo a arriba.
El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes  f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha  función.
La manera más efectiva para determinar el Rango  consiste en graficar la  función y ver los valores que  toma “Y” de abajo hacia arriba.

Estudio del dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir,  las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los  números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, se  puede sustituir el  valor de “X” por cualquier número real que hayamos  elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”.

Son funciones polinómicas: La recta (función lineal o afín), la parábola  (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
f(x)= x2 - 5x + 6             D=R

Dominio de la función racional

Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es  igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta  esa ecuación el dominio estará formado por todos los reales excepto las  soluciones de la ecuación. El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice par

Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un  radical que lleve en su radicando la variable independiente.
Si el radical tiene  índice impar, entonces  el dominio será todo el  conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de X siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión  que haya en el radicando.
Pero si el radical tiene índice par, para los valores de X que hagan el  radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen.
Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo primero  que debemos hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz y hacer que  sea mayor o igual que cero. A continuación se resuelve esa inecuación y la solución de dicha inecuación conforma el dominio  de la función. El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.



Dominio de la función logarítmica

Los logaritmos de números negativos  y el de 0 no existen. Luego,  todas  las expresiones a las que se le pretenda calcular su logaritmo deben ser  mayores a cero.
El procedimiento para calcular su dominio  es bastante similar al de las  funciones  irracionales. Tomamos lo  que hay dentro del logaritmo y  hacemos que sea mayor que cero. A continuación resolvemos la  inecuación y la solución nos da el dominio.
El Rango estará representado por el conjunto de todos los números  reales. El dominio está formado por todos los valores que hacen que el la función contenida dentro del logaritmo sea mayor que cero.


Dominio de la función exponencial

El dominio es R.

Dominio de la función seno

El dominio es R.

Dominio de la función coseno

El dominio es R.

FUNCIÓN INYECTIVA.


En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Cardinalidad de inyectividad
Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:
Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.
Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función , y no se repiten. Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Función sobreyectiva  

En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen, o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .
A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio






Función Biyectiva:
  

Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

NOTA: para que una función sea biyectiva debe salir una y sólo una  flecha de cada uno de los elementos del Dominio e ir a parar a distintos elementos del Codominio. No puede quedar ningún elemento del  Dominio sin pareja, y ningún elemento del Codominio sin ser pareja de alguno del Dominio.

sábado, 6 de octubre de 2012

EXPRESIONES DECIMALES Y FRACCIÓN GENERATRIZ


EXPRESIONES DECIMALES.

Como todo número racional puede escribirse como fracción, admite también una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. De esta forma podemos comparar sus expresiones decimales.

Por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5 y 1/3 = 0,3333...

Al hacer esta división puede ocurrir que el cociente sea:


Decimal exacto

Número finito de cifras decimales

Los únicos divisores del denominador son 2 o 5
Periódico puro
La parte decimal se repite indefinidamente (periodo)
Los números 2  o 5 no son divisores del denominador
Periódico mixto
La parte decimal está formada por una parte que no se repite (ante periodo) seguida del periodo
Los divisores  del denominador son 2 o  5 y tiene además otros divisores




Decimal exacto

Número finito de cifras decimales

Los únicos divisores del denominador son 2 o 5
Periódico puro
La parte decimal se repite indefinidamente (periodo)
Los números 2  o 5 no son divisores del denominador
Periódico mixto
La parte decimal está formada por una parte que no se repite (ante periodo) seguida del periodo
Los divisores  del denominador son 2 o  5 y tiene además otros divisores



Esto da lugar a dos tipos de expresiones decimales, las de período cero y las de período diferente de cero.

Por ejemplo 1/2 = 0,50 representa una expresión decimal de período 0. Observa que el período es 0, pues después de la cifra 5 siguen infinitos ceros.

1/3 = 0,3 representa una expresión decimal de período diferente de 0. El período es 3 y se puede representar escribiendo el número y una raya encima
.
Tomemos otro caso, busquemos la expresión decimal de 1/7. Al dividir uno por siete se obtiene 0,142857 donde el período es 142857.

Siempre que el período sea distinto de cero estará formado por un número finito de cifras diferentes.
Podríamos preguntarnos ¿si toda expresión decimal es un número Racional?
Existen expresiones decimales no periódicas que no se pueden expresar en forma de fracción. Por ejemplo podemos construir el número 97,18312917..... donde las cifras decimales no se repiten nunca de la misma manera, es decir no hay una ley de formación. Así se construye un número que no es posible representarlo con una fracción porque no es periódico, por lo tanto no es un número racional. Estos números se llaman irracionales y serán los que completen la recta numérica.

Uno de los irracionales más "populares" y que hace su entrada en la escuela es el número pi 
.

Que diferencias hay entre la expresión decimal periódica pura y la expresión decimal periódica mixta?


Una expresión decimal periódica pura es aquella cuyas cifras decimales son todas periódicas 
0,33333.......
1,23232323.....
3,345345345....

Para transformar una expresión decimal periódica
 pura 
Se pone en el numerador el número sin coma y se le resta la parte no periódica;
en el denominador tantos nueves como cifras periódicas tenga

0,77777.... = 7/9
2,8888...... = (28-2) /9 = 26/9
1,595959... = (159-1)/99 = 158/99
3,497497497... = (1497-3)/999 = 1494/999


Una expresión decimal periódica 
mixta es aquella cuyas cifras decimales son algunas periódicas y otras no
0,67777777.....
3,7845454545....
2,30963963963.....

Para transformar una expresion decimal 
mixta se pone en el numerador el número entero sin coma
Se le resta la parte no periódica;
En el denominador tantos nueves como cifras periódicas tenga y tantos ceros como cifras no periódicas

0,57777.. = (57 - 5) /90 = 52/90
0,4676767... = (467- 4) / 990 = 463 /990
0,95737373... = (9573 - 95) / 9900 = 9878 / 9900
5, 07383838... = (50738 - 507) / 9900 = 50231 / 9900



Conversión de fracciones a decimales
 Para convertir fracciones a decimales basta con efectuar la división entre el numerador y el denominador
Ejemplos.

a)   1/2             10: 2 = 0,5 
b)   3/4             30: 4 = 0,75
c)   9/8              9: 8 = 1,125

En los casos anteriores la división fue exacta.
Estas expresiones decimales reciben el nombre de números decimales finitos.
Otros ejemplos

a)   1/3              10: 3 = 0,333333...       0,
3 (parte entera  cero y periodo tres)
b)   7/6               7: 6  = 1,1666666...     1,1
6 (parte entera uno, periodo seis, ante período uno)

c)   15/33           150: 33 = 0,454545...    0,
45 (parte entera cero, periodo cuarenta y cinco)

En estos ejemplos la división entre el numerador y el denominador no es exacta y en cada resultado obtuvimos un número infinito de cifras decimales. Como una cifra o un grupo de cifras se  repite indefinidamente y en el mismo orden, estos decimales reciben el nombre de números decimales periódicos
La cifra o el grupo de cifras que se repite se denomina periodo,  la cifra que esta antes de la coma se le llama parte entera y la que esta después de la coma, pero antes del periodo y no se repite se le llama anteperiodo.
Todo número racional  puede escribirse como un decimal finito o un decimal periódico.


Conversión de un numero decimal  a Fracciones.


Un numero decimal representa infinitas fracciones equivalentes; por ejemplo.


 0,25 = 1/4 = 2/8 = 3/12 = 4/20...

Por ello es  necesario definir el término fracción generatriz: _
Se denomina fracción generatriz de un número decimal, a la fracción irreducible que lo genera.

1/2 es la fracción generatriz de 0,5 porque  1/2 = 0,5 y 1/2 es irreducible.
2/3 es la fracción generatriz de de 0,
6... Porque 2/3 = 0,6 y 2/3 es irreducible
Aunque 6/15 = 0,4; tenemos que 6/15 no es la fracción generatriz de 0,4. 
Al convertir decimales a fracciones siempre debe determinarse la fracción generatriz.

Conversión de decimales finitos a fracciones


Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal limitada, se toma como numerador todas las cifras de la expresión decimal sin considerar la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras  tenga la parte decimal. Luego si es posible se simplifica la fracción resultante.
Ejemplos:

 a) 12,34  = 1234/100 = 617/50 FG.           b)  0,4 = 4/10 =2/5 FG

Conversión de decimales periódicos puros a fracciones
 Para hallar la fracción generatriz de una expresión periódica pura, se escribe como numerador la expresión decimal sin la coma menos la parte entera de la expresión, y como denominador un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo. Luego, si es posible, se simplifica la fracción resultante. 
Ejemplos:

     
a) 0,3... = 3-0 / 9 = 3/9 = 1/3 FG                 b) 0,23... = 23 - 0 / 99 = 23/99 FG

      c) 1,
45... = 145 - 1 / 99 =  144/99 = 16/11 FG      
d) 12,875... = 12875 - 12 / 999 = 12863/999 FG

Conversión de decimales periódicos mixtos a fracciones


Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta, se multiplica la expresión por 10, 100, 1000...  Para convertirla en una expresión periódica pura y se divide la fracción obtenida entre el numero multiplicado  (10, 100, 1000...) 
Ejemplos:
  a) 2,44
3... Se multiplica por 100  y resulta 244,3... Entonces 244,3 = 2443 - 244 / 9 = 2199/9 = 733/3 al dividir ambos miembros por 100, es decir   244,3/100 = 733/3: 100 → 2,443 = 733/300 FG.

 b) 6,25
8... Se multiplica por 100 y resulta 625,8... Entonces 625,8 = 6258 - 625 / 9 = 5633/9 al dividir ambos miembros por 100, es decir 625,8: 100 = 5633/9 : 100   →   6,258 = 5633/900 FG