OPERACIONES CON FRACCIONES

1.   Adición y Sustracción

Procedemos según sea el caso de los denominadores. Cabe destacar que los enteros pueden ser positivos o negativos así que debe recordarse la Ley de los signos.

Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo 

Signos diferentes se restan y se coloca el signo del mayor  

Con igual denominador: Se coloca el denominador común (el mismo) y se suman algebraicamente los numeradores, si es posible se simplifica la fracción obtenida.

   

Ejemplos

Observación: De la misma forma y  manera que se adicionan o sustraen dos números, así mismo, se operan con 3 o más de 3 números fraccionarios, en ocasiones el resultado es un número fraccionario y en otras un número entero, pero recordemos que un número entero también es un número fraccionario, ya que   pero 2 es equivalente a escribir .

 Con diferente denominador:

En éste caso se debe verificar cuantos números se van a adicionar o a sustraer, debido a que existen diversos métodos para resolver dichos ejercicios, veamos.

Método de las cruces (utilizado para sumar o restar dos números fraccionarios): El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción, luego el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.

 

b.    Mínimo Común Múltiplo (utilizado para sumar o restar tres o más números): El m.c.m se define como elementos comunes y no comunes con su mayor exponente. Esto quiere decir que los números son descompuestos en sus factores primos (2, 3,5 7, 11…) y se toman en cuenta los de mayor exponente.

El m.c.m va a ser el denominador común y los numeradores el resultado del m.c.m entre el denominador por el numerador.

 Desde otro punto de vista se reducen las fracciones a común denominador y luego se adicionan sustraen algebraicamente los numeradores.

 

Ejemplos

 

2.    Multiplicación

La multiplicación de dos números fraccionarios genera como resultado otro número fraccionario, donde el numerador va a ser el resultado del producto de los numeradores y el denominador genera como resultado el producto de los denominadores.

Ejemplos:

 

Observa que la fracción obtenida fue  simplificando dicho resultado nos queda . Sin embargo, es posible obtener la fracción irreducible   simplificando, antes de multiplicar, aquellos elementos de las fracciones que tengan factores comunes entre sí, en éste caso simplificando los 3, es decir así:

 

3.    División.

Se darán situaciones que atiendan a dividir fracciones por naturales, naturales por fracciones  y fracciones entre sí.

Una de las formas más sencillas de resolver estas operaciones es:

Para dividir  , se multiplica  por la fracción inversa de , es decir,          

Ejemplos:

           

 Otra forma de resolver éstas operaciones es aplicando el método de las cruces.

Ejemplos:

 

4.    Potenciación

Si   y n un número natural, la potencia de elevado a la n es el producto de , n veces.

Para resolver estas operaciones, se debe tomar en cuenta las propiedades de la potenciación.

Ejemplos: 

Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente.

Potencias de exponente negativo

Propiedades de las potencias de fracciones

1.

2.

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

Ejercicios de potencias de fracciones

Realiza las siguientes operaciones con potencias de fracciones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Halla las operaciones de fracciones con potencias: