domingo, 23 de septiembre de 2012

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES




                                         CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Es cualquiera de los números que se usan para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.Por ejemplo, para contar los habitantes de un país. 




El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo N, y se escribe N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,..}. Este es un conjunto infinito porque, dado un numero natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.

  
                                                                 ORDEN EN N

Los números naturales sirven para contar y ordenar los elementos de un conjunto. por ejemplo en una carrera de formula 1, no solamente es necesario  conocer cuantos carros terminan la carrera; también es importante saber el orden en que llegan a la meta.  




El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cual es el menor y cual es el mayor. cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: 
  • a es mayor que b. esta relación se escribe a>b
  • a   es menor que b. esta relación se escribe a<b
  • a   es igual a b. esta relación se escribe a=b
Un número natural es mayor que otro, si está colocado a la derecha de él en la recta numérica.
  • Ejemplo:El número 4 está a la derecha del número 3, lo que quiere decir, que 4 es mayor que 3.

    numeros-naturales-Foto02

    El símbolo que nos indica mayor que es: (>)
    Por lo tanto, podemos decir que 4 3
                                               OPERACIONES EN N



                                         SUMA DE NUMEROS NATURALES

    En toda suma de números hay varios elementos: los números que se van a sumar llamados sumandos y el resultado de la operación llamado suma.

    Ejemplo :              20 + 56 + 9 = 85 

    En cualquier suma se verifica que: sumando desconocido = suma – sumando conocido

    Ejemplos  

      57 +  ? = 73
         ? = 73 – 57
        ? = 16
       12 + 25 + ? = 84
      37 + ? = 84
        ? = 84 – 37    ? = 47        
                                                                  a + b = c
Los términos de la sumaa y b, se llaman sumandos y el resultado, csuma.
Propiedades de la suma
1.Internaa + b=C
2. Asociativa(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3.Conmutativaa + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4. Elemento neutroa + 0 = a
3 + 0 = 3



                                     RESTA DE NÚMEROS NATURALES

En toda resta de números hay tres elementos: el número del que vamos a restar llamado minuendo, el número que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operación llamado resta o diferencia.
Ejemplo :     9 – 6 = 3
En cualquier resta se verifica que:  minuendo = sustraendo + diferenciasustraendo = minuendo + diferencia
Ejemplos :    ? – 8 = 47    ? = 47 + 8    ? = 55
  37 - ? = 29    ? = 37 – 29    ? = 8
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta
1. No es una operación interna
2 − 5 =-3 NO PERTENECE A LOS NATURALES  
2. No es Conmutativa
5 − 2 ≠ 2 − 5


PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES

En toda multiplicación de números hay tres elementos:  los números que multiplicamos llamados factores y el resultado de la multiplicación llamado producto.

                                         Ejemplo :       9 · 3 = 27 


En cualquier multiplicación se verifica que: factor desconocido = producto : factor conocido

                             Ejemplos :  7 · ? = 84    ? = 84 : 7    ? = 12 

  3 · 4 · ? = 72    12 · ? = 72    ? = 72 : 12    ? = 6

Hay algunas frases que tienen un significado especial:

Doble  multiplicar por  2
Triple  multiplicar por 3
Cuádruple  multiplicar por 4                  



a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, cproducto.
Propiedades de la multiplicación
1. Internaa · b =C
2. Asociativa(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3. Conmutativaa · b = b · a
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
4. Elemento neutroa · 1 = a
3 · 1 = 3
5. Distributivaa · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Sacar factor comúna · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
    16 = 16                                                               



DIVISION DE NUMEROS NATURALES

En toda división de números hay cuatro elementos: el número que vamos a dividir llamado dividendo, el número entre el que dividimos llamado divisor, el resultado de la división llamado cociente y lo que sobra después de dividir llamado resto.

Ejemplo :  dividendo    25   7    divisor
         resto      4   3    cociente 


:  En la división del ejemplo anterior se cumple que 7 · 3 + 4 = 25  y  4 < 7

Hay algunas frases que tienen un significado especial:
       mitad  dividir entre 2
       tercera parte  dividir entre 3
       cuarta parte  dividir entre 4
       quinta parte  dividir entre 5

Ejemplos:
   La mitad de 8    8 : 2 = 4; La cuarta parte de 28    28 : 4 = 7 

D : d = c
Los términos que intervienen en un división se llaman, Ddividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.
Propiedades de la división
1.División exacta 
          15/3 = 5 · 3
2. División entera
            17/5 = 5 · 3 + 2
3.No es Conmutativo.
6 : 2 ≠ 2 : 6
4. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
5. No se puede dividir por 0.
OPERACIONES COMBINADAS CON NUMEROS NATURALES

Cuando en una misma expresión hay sumas, restas, productos y divisiones el orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente:       
                        
1º  Operaciones dentro de los paréntesis
2º  Productos y divisiones
3º  Sumas y restas
4º  Si las operaciones tienen la misma jerarquía se empiezan por la izquierda.

Ejemplos : 
  5 + 2 · 3 = 5 + 6 = 11      ( 5 + 2 ) · 3 = 7 · 3 = 21        ( 12 – 2 ) : ( 7 – 5) = 10 : 2 = 5



                                      POTENCIA

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
5 · 5 · 5 · 5 = 54

Base

La base d una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.

Exponente

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

          Propiedades de la potencias de números naturales

1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am · a n = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
4. División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
5. Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am)n = am · n  
(25)3 = 215 
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
an : bn = (a : b)n
63 : 33 = 23

                 Descomposición polinómica de un número

Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.
El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo:
3 658 = 3 ·103 + 6 ·102 + 5 ·101 + 8

Ecuación

Es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Hagamos el siguiente problema

La suma de tres números enteros consecutivos es 48. ¿Hallar los tres números?
Solución:
 Primer número  Segundo  Tercero 
            X                   x + 1        x + 2
Como la suma de los tres enteros consecutivos es 48 ( es significa aquí =), podemos escribir una ecuación:
  x + x + 1 + x + 2 = 48
Resolviendo obtenemos: 
  3x + 3   =  48 
         3x  =  48  + -3 
         3x  =  45 
         3x  =  45 
         3         3
          x   =  15
De modo que el primer número es,  x = 15;  el segundo número es x + 1 = 16 
Y el tercer número,  x + 2 = 17.

Hagamos unos problemas:
1. La suma de tres números impares consecutivos es 51. Hallar los tres números. 
 
Solución: Como son impares consecutivos,
 Primero   Segundo   Tercero 
     x             x + 2          x + 4
Como la suma de los tres números es 51, escribimos la siguiente ecuación y la resolvemos:
       x   + x + 2 + x + 4  = 51 
      3x  + 6 = 51 
            3x  = 51 +  -6 
            3x  =  45 
            3         3
             x   =  15
   Primero x = 15,  Segundo x+ 2  = 17,  Tercero  x + 4 = 19.
Comprobación: 
15+ 17 + 19= 51 (Los tres números son impares consecutivos y suman a 51.
2. Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma es negativo 21.
Solución: 
Primero   Segundo   Tercero 
     x              x + 1       x + 2
Como la suma de los tres es   -21, la ecuación es 
         x + x+1+ x + 2 = -21
            3x + 3  =  -21 
                  3x  =   -21 + -3 
                  3x  = -24 
                  3         3
                     x = -8 
  
  
El primero, x= -8, el segundo,  x + 1 = -8 + 1 = -7   , el tercero x+ 2 = -8 + 2 = -6. 
Comprobación: 
-8 + -7 + -6 = -21 
 
3. Hallar tres enteros pares consecutivos tal que tres veces el segundo es cuatro más que la suma del primero y tercero. 
Solución:
 Primero Segundo Tercero 
     x           x + 2        x + 4
Para hacer la ecuación tenemos que leer con atención el problema. 
“tres veces el segundo    es    cuatro más que la suma del primero y tercero” 
   3(x+2)                           =                4+ ( x + x+4)
Resolvamos: 
 3(x+2) =  4+ ( x + x+4) 
 3x + 6  = 4 + 2x + 4 
 3x + 6 =  8 + 2x 
  3x + -2x =  8 + -6 
        x  =  2 
De modo que el primero es x = 2,  el segundo es x + 2 = 4 y el tercero es x+4 =6.
Comprobación: 
3(x+2) = 4 + (x +x +4) 
3(2+2) = 4 + (2 +2 + 4) 
 3(4)   =  4 + 8 
12 =  12
                     Resolución de Problemas Verbales 
  
Un coleccionista de  sellos tiene un sellos de 3 centavos que es 25 años más viejo que un sello de 5 centavos. Dentro de 18 años, el sello de 3 centavos será el doble de viejo que el sello de 5 centavos entonces. ¿Cuántos  años tiene cada sello? 
Solución: 
Hay en el problema dos clases de sellos: de 3 centavos y de 5 centavos. 
  Edad presente           Edad futura 
3 centavos      x  + 25  (x + 25) + 18 x +43 
5 centavos  x                     x + 18
Ahora volvamos a leer el problema para establecer la igualdad. 
Dentro de 18 años, el sello de 3 centavos será el doble de viejo que el sello de 5 centavos 
    x + 43     =    2( x + 18)
Resolvamos 
    x + 43     =    2x + 36 
     x + -2x   =   -43 + 36 
         -  x     = -7 
             x    = 7 
Así que el sello de 5 centavos tiene 7 años y el de 3 tiene x + 25 à 7 + 25 = 32 años.
Comprobación: 
 x + 43     =    2( x + 18) 
 7 + 43    =    2 ( 7 + 18) 
          50 =  2(25) 
          50 =     50 
 
                                            Problema #2 

Un medio peso tiene ahora 25 años. Un vellón de diez tiene 15 años. Ahora volvamos a leer el problema para establecer la igualdad. ¿Hace cuántos años tenía el medio peso el doble de los años que el vellón? 
 
Solución:  x es el número de años en el pasado 
  Edad Presente           Edad en el pasado 
Vellón de 10         25                         25 – x 
Medio peso         15      15 – x
Ahora volvamos a leer el problema para establecer la igualdad. 
¿Hace cuántos años tenía el medio peso el doble de los años que el vellón?
2(15 – x)  = 25 - x
Resolvamos;    2(15 + -x) = 25 + -x 
                           30 + -2x  = 25 + -x 
                           30 + -25  =  2x + -x 
                                       5  =  x 
 
De modo que hace 5 años el medio peso tenía el doble de años que el vellón.
Comprobación: 
2(15 + -x) = 25 + -x 
2(15 +-5) = 25  + -5 
       2(10) = 20 
            20 = 20 


















5 comentarios:

  1. Está bueno el blog, simple y se entiende todo. Buena (Y) ^^

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    1. Que bueno que te gustó, estamos para servirles a todos ustedes.

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  2. muy buenos conceptos y el desarrollo ATT:JEAN CECILIA

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  3. profe esta muy bien los conceptos están bien explicados felicitaciones se la comio attRicardo sulbaran

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