viernes, 5 de octubre de 2012

Conjunto de los Números Enteros.






Los números enteros.
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).
El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

¿Cómo se forman los números enteros?.


Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.


Representación de los números enteros.
Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:
- Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale el valor 0.

- Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asígnale el valor 1. La distancia entre ambos puntos será la unidad de medida de longitud.  Si marcas esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y así sucesivamente representas todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, .....
- Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los números negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, ......






SUBCONJUNTOS DE NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros está formado por:
  1. Todos los números menores que 0: se escriben con signo negativo, y es el conjunto de todos los inversos aditivos de los números de signo positivo. Todos los enteros negativos son menores que 0, y son menores que cualquier número positivo.
  2. El cero: es un número sin signo, es el resultado único que arroja la suma de un número entero cualquiera, con su inverso aditivo. El 0 es mayor que cualquier número negativo, y menor que cualquier número positivo.
  3. Todos los números mayores que 0: se escriben sin signo, o con un signo positivo delante; es idéntico al conjunto de números naturales, y también se puede considerar como el conjunto de todos los inversos aditivos de los números con signo negativo. Todos los números enteros positivos son mayores que 0, y en consecuencia mayor que cualquier número negativo.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
             |−a| = a       |a| = a
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:
• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; 
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5. 
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero. −7 < 0
2. Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0
3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7 >− 10             |−7| < |−10|
4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7             |10| > |7|

OPERACIONES BIEN DEFINIDAS EN LOS NÚMEROS ENTEROS

Para que una operación binaria (suma, resta, multiplicación o división) esté bien definida en los números enteros, el resultado de dicha operación debe ser otro número entero. A esta propiedad se le llama PROPIEDAD DE CERRADURA DE UNA OPERACION EN UN CONJUNTO DE NUMEROS. Las condiciones observadas son las siguientes:
  1. LA SUMA ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NÚMEROS ENTEROS.
  2. LA RESTA ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, SIENDO UN CASO ESPECIAL DE LA MISMA SUMA
  3. LA MULTIPLICACION ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, SIENDO UN CASO ESPECIAL DE LA SUMA, IGUALMENTE.
  4. LA DIVISION NO ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, PUES NO TODAS LAS DIVISIONES DE DOS ENTEROS VA A DAR OTRO NUMERO ENTERO.
  5.  LA POTENCIACION ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, PUES ES UN CASO ESPECIAL DE LA MULTIPLICACION, Y EN CONSECUENCIA UN CASO ESPECIAL DE LA SUMA.
  6. LA RADICACION NO ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROSENTEROS, PUES NO TODOS LOS RADICALES DE NUMEROSENTEROS VAN A SER OTROS NUMEROS ENTEROS.



                                Suma de números enteros     
Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):
Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.
Ejemplos:        – 3   +  – 8  =   – 11      (sumo y conservo el signo)
                         12   +   25  =   37       (sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ejemplo:          – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  –  7  =   5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de  +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).
                    5   +   – 51   =   – 46   (es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
                   – 14  +   34   =    20



Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:
a + b              3 + (−5)   
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a      (−5) + 0 = − 5            

5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
− (−5) = 5

Resta en Z
Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta
b)         Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario
Ejemplo:      –3  –  10   
a) cambiamos el signo de resta por el de suma:
  –3    +  10 
b) cambiamos el signo del número que está a la derecha del signo de operación (que ahora es el +): se transforma en  suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a)         Cambiar el signo de la resta en suma y

– 3 + – 10 =    –13   (signos iguales se suma y conserva el signo)

Ejemplo:
19  –   – 16 
a) cambiamos el signo de resta por el de suma:
19 + –16
b) cambiamos el signo del número que está a la derecha (– 16) del signo de operación (que ahora es el +):
19 + + 16 =   19   +    16    =    35

Propiedades de la resta de números enteros

1. Interna: a − b   
10 − (−5)   
2. No es Conmutativa: a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 – 5   


Multiplicación de Números Enteros
La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:
                                                                                                             
+   •    +    =    +

–   •   –     =    +

+   •   –     =   –

–  •   +     =   –

Ejemplos:   – 5   •    – 10   =    50    (5  •   10   =    50;   –  •   –   =   +)
                     12  •    – 4    =   – 48    (12 •   4   =     48;    + •  –   =   –)

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna: a · b            2 · (−5)   
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa: a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2         -10 = -10
4. Elemento neutro: a ·1 = a (−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)     



La división de números enteros. 


Para dividir números enteros debes que tener en cuenta las misma reglas que en la multiplicación. 

¡Atención!

 La división no es una operación interna en el conjunto de los números enteros. Es decir que al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero.


Potenciación con números enteros (n > 1, n € N)


Se utiliza para abreviar la multiplicación de un mismo número cuyo producto se realiza varias veces
El  producto   a·a·a·a·a·a  tiene sus seis factores iguales. Este producto se indica en forma abreviada como  a6.

a6  se llama potencia de  base  a   y  exponente  6.


Potencia  es una operación que consiste en multiplicar la base  por si mismo  tantas veces como indique el exponente
 
Ejemplo: 53 es una potencia que tiene por base  5  y  por exponente  3;  por eso multiplicamos la base 5  tres veces: 53 = 5·5·5 = 125

Ejemplo : (–3)2 es una potencia de base  (–3)  y  exponente  2;  multiplicamos la base  (–3)  dos veces:  (– 3)2 = (– 3)·(– 3) = 9

Propiedades de la potencia:


Todo número elevado a 1, es el propio número.

Ejemplo: 51 = 5;  41 =  4: (–11)1 = –11.
El exponente 1 no se escribe (no se pone); por lo tanto todo número que no tiene exponente, se supone que es  1

Todo número (distinto de cero) elevado a  0  es  1. 
Ejemplo: 110 = 1; 3290 = 1; –70 = –1


Conclusiones:

– Si la base es positiva, el resultado de la operación siempre es positiva sea cual sea el exponente. (En los números naturales la base siempre es  positiva)
– Si la base es negativa, el resultado de la operación depende del exponente:
     Si el exponente es par el resultado es positivo  (el producto de dos signos negativos da resultado positivo: (–)·(–) = +
     Si el exponente es impar el resultado es negativo (siempre queda un signo negativo sin aparear).


Para que la base sea negativa tiene que estar entre paréntesis, en cuyo caso también hay que elevar el signo “  

Ejemplos:

 25 = 2·2·2·2·2 = 32
(– 5)3 = (– 5)·(– 5)·(– 5) = –125     (base negativa con exponente impar: por tanto el signo también se multiplica tres veces).

(–7)4 = (–7)·(–7)·(–7)·(–7) = 2 401         (base negativa con exponente par: el signo se efectúa  4 veces).

 – 34  = – 3·3·3·3 = – 81        (la base positiva: se eleva sólo la base y el signo se deja como esta)

(–3)4 = (–3)·(–3)·(–3)·(–3) = 81      (la base negativa y el signo también se eleva).


Propiedades de las potencias:


Si tienen la misma base:
– El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes.

Ejemplo:  333 = 32+3 = 35 = 3·3·3·3·3 = 243;

– El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.

Ejemplo:  46 : 43 = 46–3 = 43 = 4·4·4 = 64
Ejemplo : 75 : 73 = 75–3 =72 = 7·7 = 49
    
Si tienen el mismo exponente:
– El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo.

Ejemplo: 23·73 = (2·7)3= 143 = 14·14·14 = 2744

– El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra  potencia que tiene por base el cociente de las bases y por  exponente el mismo.

Ejemplo : 86 :46 = (8:4)6 = 26 = 2·2·2·2·2·2= 64.

Por último:
– La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto de los exponentes

Ejemplo : (43)2 = 43·2 = 46 = 4·4·4·4·4·4 = 4096

Ejercicio :  (–2)5.(–2)4 = (–2)5+4 = (–2)9 = (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2) = – 512

Ejercicio :  ((–4)3 )2= (–4)3·2 = (–4)6 = (–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4) = 4096



Ecuaciones en números enteros.
Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, los cuales se denominan miembros de la ecuación. En ellas aparecen números y letras (incógnita) relacionadas mediante una operación matemática.
                           
Ecuaciones Lineales

Una ecuación es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado incógnita. En las ecuaciones lineales la incógnita no está elevada a ninguna potencia.

Ejemplo 4x + 3 = 23

Para resolver esta ecuación se debe colocar en un lado de la igualdad los términos con incógnita y al otro lado de la igualdad los datos numéricos y luego realizar las operaciones según corresponda.


               4x + 3 = 23

              4x = 23 + -3


              4x = 20


                x = 20
                       4

                x = 5








10 comentarios:

  1. profe soy angel esta muy bien

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    1. gracias angel pero éste es el que te tocaba revisar?

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  2. profe soy jose antonio esta bien

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  3. Profesor ...siguiendo Vicente Olivar lo imprimire gracias.

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  4. Hola profesor soy Carla Ramirez me metí para ver la pagina y me gusto, me parece que esta muy bien y que no va ayudar bastante :D

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  5. ok no entiendo mucho pero por ahi voy no?

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