Conjunto de los números reales
Es el conjunto que obtenemos entre la unión de los
conjuntos Racionales e Irracionales:
Los números Racionales tienen representación decimal
periódica y los irracionales representación decimal no periódica.
El concepto de números irracionales
proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números
irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta
escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables
Definición de números irracionales
¿Qué son números irracionales? Los números
irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras
decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como
fracciones.
Estos números pueden haber sido
descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema
de Pitágoras, siendo el resultado el número 2√ , o raíz
cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya
respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser
fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como
una ración o varias raciones o fracciones.
Para distinguir los números irracionales
de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se
pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es
igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada
de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su
fraccionamiento resulta imposible.
Podrías intentar encontrar la respuesta en
una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas
programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2
con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos
decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal
infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número
irracional, solo es una aproximación en números racionales.
Notación de los números
irracionales
La representación gráfica de los números
irracionales se la hace con la letra I mayúscula. Se la utiliza de esta manera
para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i
minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir
una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede
ver cómo R/Q como la representación de números irracionales por definición.
Existen algunos casos especiales de
números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos
casos serán tratados posteriormente.
Historia de los números
irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los
números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se
cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como
fracción, así que es irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!
Clasificación de los números
irracionales
Dentro de la recta real
numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números
irracionales hay más tipos para clasificar, estos son:
Número algebraico.- se les
llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación
algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En
general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este
conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc.
Número trascendente.- este
es un número irracional que no puede ser representado a través de un número
finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de
operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría,
logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también pueden surgir de la simple
acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón
determinado, podemos decir que son decimales infinitos.
Este último tipo, se
diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación
algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no
tienen una representación con un número radical.
Números irracionales famosos
Como se mencionaba anteriormente, existen números
irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para
operaciones específicas, algunos de ellos son:
 | |||||||||||||||||||
|
No hay comentarios:
Publicar un comentario