sábado, 6 de octubre de 2012

EXPRESIONES DECIMALES Y FRACCIÓN GENERATRIZ


EXPRESIONES DECIMALES.

Como todo número racional puede escribirse como fracción, admite también una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. De esta forma podemos comparar sus expresiones decimales.

Por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5 y 1/3 = 0,3333...

Al hacer esta división puede ocurrir que el cociente sea:


Decimal exacto

Número finito de cifras decimales

Los únicos divisores del denominador son 2 o 5
Periódico puro
La parte decimal se repite indefinidamente (periodo)
Los números 2  o 5 no son divisores del denominador
Periódico mixto
La parte decimal está formada por una parte que no se repite (ante periodo) seguida del periodo
Los divisores  del denominador son 2 o  5 y tiene además otros divisores




Decimal exacto

Número finito de cifras decimales

Los únicos divisores del denominador son 2 o 5
Periódico puro
La parte decimal se repite indefinidamente (periodo)
Los números 2  o 5 no son divisores del denominador
Periódico mixto
La parte decimal está formada por una parte que no se repite (ante periodo) seguida del periodo
Los divisores  del denominador son 2 o  5 y tiene además otros divisores



Esto da lugar a dos tipos de expresiones decimales, las de período cero y las de período diferente de cero.

Por ejemplo 1/2 = 0,50 representa una expresión decimal de período 0. Observa que el período es 0, pues después de la cifra 5 siguen infinitos ceros.

1/3 = 0,3 representa una expresión decimal de período diferente de 0. El período es 3 y se puede representar escribiendo el número y una raya encima
.
Tomemos otro caso, busquemos la expresión decimal de 1/7. Al dividir uno por siete se obtiene 0,142857 donde el período es 142857.

Siempre que el período sea distinto de cero estará formado por un número finito de cifras diferentes.
Podríamos preguntarnos ¿si toda expresión decimal es un número Racional?
Existen expresiones decimales no periódicas que no se pueden expresar en forma de fracción. Por ejemplo podemos construir el número 97,18312917..... donde las cifras decimales no se repiten nunca de la misma manera, es decir no hay una ley de formación. Así se construye un número que no es posible representarlo con una fracción porque no es periódico, por lo tanto no es un número racional. Estos números se llaman irracionales y serán los que completen la recta numérica.

Uno de los irracionales más "populares" y que hace su entrada en la escuela es el número pi 
.

Que diferencias hay entre la expresión decimal periódica pura y la expresión decimal periódica mixta?


Una expresión decimal periódica pura es aquella cuyas cifras decimales son todas periódicas 
0,33333.......
1,23232323.....
3,345345345....

Para transformar una expresión decimal periódica
 pura 
Se pone en el numerador el número sin coma y se le resta la parte no periódica;
en el denominador tantos nueves como cifras periódicas tenga

0,77777.... = 7/9
2,8888...... = (28-2) /9 = 26/9
1,595959... = (159-1)/99 = 158/99
3,497497497... = (1497-3)/999 = 1494/999


Una expresión decimal periódica 
mixta es aquella cuyas cifras decimales son algunas periódicas y otras no
0,67777777.....
3,7845454545....
2,30963963963.....

Para transformar una expresion decimal 
mixta se pone en el numerador el número entero sin coma
Se le resta la parte no periódica;
En el denominador tantos nueves como cifras periódicas tenga y tantos ceros como cifras no periódicas

0,57777.. = (57 - 5) /90 = 52/90
0,4676767... = (467- 4) / 990 = 463 /990
0,95737373... = (9573 - 95) / 9900 = 9878 / 9900
5, 07383838... = (50738 - 507) / 9900 = 50231 / 9900



Conversión de fracciones a decimales
 Para convertir fracciones a decimales basta con efectuar la división entre el numerador y el denominador
Ejemplos.

a)   1/2             10: 2 = 0,5 
b)   3/4             30: 4 = 0,75
c)   9/8              9: 8 = 1,125

En los casos anteriores la división fue exacta.
Estas expresiones decimales reciben el nombre de números decimales finitos.
Otros ejemplos

a)   1/3              10: 3 = 0,333333...       0,
3 (parte entera  cero y periodo tres)
b)   7/6               7: 6  = 1,1666666...     1,1
6 (parte entera uno, periodo seis, ante período uno)

c)   15/33           150: 33 = 0,454545...    0,
45 (parte entera cero, periodo cuarenta y cinco)

En estos ejemplos la división entre el numerador y el denominador no es exacta y en cada resultado obtuvimos un número infinito de cifras decimales. Como una cifra o un grupo de cifras se  repite indefinidamente y en el mismo orden, estos decimales reciben el nombre de números decimales periódicos
La cifra o el grupo de cifras que se repite se denomina periodo,  la cifra que esta antes de la coma se le llama parte entera y la que esta después de la coma, pero antes del periodo y no se repite se le llama anteperiodo.
Todo número racional  puede escribirse como un decimal finito o un decimal periódico.


Conversión de un numero decimal  a Fracciones.


Un numero decimal representa infinitas fracciones equivalentes; por ejemplo.


 0,25 = 1/4 = 2/8 = 3/12 = 4/20...

Por ello es  necesario definir el término fracción generatriz: _
Se denomina fracción generatriz de un número decimal, a la fracción irreducible que lo genera.

1/2 es la fracción generatriz de 0,5 porque  1/2 = 0,5 y 1/2 es irreducible.
2/3 es la fracción generatriz de de 0,
6... Porque 2/3 = 0,6 y 2/3 es irreducible
Aunque 6/15 = 0,4; tenemos que 6/15 no es la fracción generatriz de 0,4. 
Al convertir decimales a fracciones siempre debe determinarse la fracción generatriz.

Conversión de decimales finitos a fracciones


Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal limitada, se toma como numerador todas las cifras de la expresión decimal sin considerar la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras  tenga la parte decimal. Luego si es posible se simplifica la fracción resultante.
Ejemplos:

 a) 12,34  = 1234/100 = 617/50 FG.           b)  0,4 = 4/10 =2/5 FG

Conversión de decimales periódicos puros a fracciones
 Para hallar la fracción generatriz de una expresión periódica pura, se escribe como numerador la expresión decimal sin la coma menos la parte entera de la expresión, y como denominador un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo. Luego, si es posible, se simplifica la fracción resultante. 
Ejemplos:

     
a) 0,3... = 3-0 / 9 = 3/9 = 1/3 FG                 b) 0,23... = 23 - 0 / 99 = 23/99 FG

      c) 1,
45... = 145 - 1 / 99 =  144/99 = 16/11 FG      
d) 12,875... = 12875 - 12 / 999 = 12863/999 FG

Conversión de decimales periódicos mixtos a fracciones


Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta, se multiplica la expresión por 10, 100, 1000...  Para convertirla en una expresión periódica pura y se divide la fracción obtenida entre el numero multiplicado  (10, 100, 1000...) 
Ejemplos:
  a) 2,44
3... Se multiplica por 100  y resulta 244,3... Entonces 244,3 = 2443 - 244 / 9 = 2199/9 = 733/3 al dividir ambos miembros por 100, es decir   244,3/100 = 733/3: 100 → 2,443 = 733/300 FG.

 b) 6,25
8... Se multiplica por 100 y resulta 625,8... Entonces 625,8 = 6258 - 625 / 9 = 5633/9 al dividir ambos miembros por 100, es decir 625,8: 100 = 5633/9 : 100   →   6,258 = 5633/900 FG

2 comentarios: