Definición de
conjuntos.
Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los
elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos
sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente
de la forma en que se lo represente, siempre se usa una letra
mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto
específico de elementos.
Existen dos maneras de definir un conjunto dado:
a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento
del conjunto.
b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que
representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de
elementos sin nombrar a ninguno en particular).
Por comprensión
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Por extensión
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A = {Números dígitos}
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A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
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B = {Números pares]
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B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
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C = {Múltiplos de 5}
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C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}
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Relaciones y funciones
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En la guía
telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o
sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.
Definición matemática de Relación y
de Función
En
matemática, Relación es
la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le
corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido. Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática.
Para lograr
esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un
papel fundamental en las relaciones y funciones.
Lo primero
es entender que Correspondencia es
equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es
equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una
tienda comercial, cada artículo está
relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio
De las
definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También
debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas
en el Plano Cartesiano.
Dados dos
conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas
ordenadas (par ordenado) que
hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier
subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo.
Si A = {2,
3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto
cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares
ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno
de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
La relación
R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto
es, R1 = {(x, y) / y = 1}.
La relación
R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo
componente, R2 = {(x, y) / x < y}
Y la
relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo
componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo,
R3 = {(x, y) / y = x + 2}
Así, se
puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se
puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que
relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio
conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.
Ejemplo 2.
Dados los
conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación
R = {(x, y) / x + y =
3}
Solución
El producto
cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados
C x D = {(1, 2),
(1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}
Las parejas
ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:
R
= {(1, 2), (–3, 6)}
Toda
relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de
llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo
anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el
conjunto D y la
expresión x + y =
3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.
Dominio y rango de una
relación
El dominio de una relación es el
conjunto de pre imágenes; es
decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están
relacionados. Al conjunto de imágenes,
esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le
denomina recorrido o rango.
Ejemplo 3
Sea A = {1,
2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B
determinada por la regla “y es
el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de
pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B
= {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2,
7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4,
7), (4, 8)}
Pero los
pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta
relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo
R”, dicho de otro modo, “2 es pre imagen de 4”.
Así, el
dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que
vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el
Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es
un subconjunto de A.
Otra
pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta
es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
Representación gráfica de las relaciones
Los pares
ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio
de puntos en el plano cartesiano.
Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Si A =
{1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la
regla
R = {(x, y) / y =
2x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares
ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R
= {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Dominio de una
función:
Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que
le damos a “X” (variable independiente)
forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de
izquierda a derecha.
El dominio de una función está formado por aquellos
valores de “X” (números reales) para los
que se puede calcular la imagen f(x).
Rango de una función
Es el conjunto
formado por las imágenes.
Son los valores que toma la función "Y"
(variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le
demos a "X".
Gráficamente lo miramos en el eje vertical
(ordenadas), leyendo de abajo a
arriba.
El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al
Dominio de dicha función.
La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.
Estudio del dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un
polinomio, es decir, las funciones
polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una
expresión polinómica, se puede sustituir
el valor de “X” por cualquier número
real que hayamos elegido y se puede
calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”.
Son funciones polinómicas: La recta (función lineal
o afín), la parábola (función de segundo
grado) y los polinomios de grado superior.
El dominio es R,
cualquier número real tiene imagen.
f(x)= x2 - 5x + 6
D=R
Dominio de la función racional
Para
calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es igualar el denominador a cero y resolver esa
ecuación, una vez resuelta esa ecuación
el dominio estará formado por todos los reales excepto las soluciones de la ecuación. El
dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un
número cuyo denominador sea cero).
Dominio de la función irracional de índice
par
Funciones
irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable
independiente.
Si
el radical tiene índice impar,
entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al
elegir cualquier valor de X siempre vamos a poder calcular la raíz de índice
impar de la expresión que haya en el
radicando.
Pero
si el radical tiene índice par, para los valores de X que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por
tanto no tendrán imagen.
Cuando
queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo primero que debemos hacer es tomar lo que hay dentro
de la raíz y hacer que sea mayor o igual
que cero. A continuación se resuelve esa inecuación y la solución de dicha
inecuación conforma el dominio de la
función. El dominio está formado por todos los
valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Dominio de la función logarítmica
Los
logaritmos de números negativos y el de
0 no existen. Luego, todas las expresiones a las que se le pretenda
calcular su logaritmo deben ser mayores
a cero.
El
procedimiento para calcular su dominio
es bastante similar al de las
funciones irracionales. Tomamos
lo que hay dentro del logaritmo y hacemos que sea mayor que cero. A
continuación resolvemos la inecuación y
la solución nos da el dominio.
El Rango estará representado por el conjunto de
todos los números reales. El dominio está formado
por todos los valores que hacen que el la función contenida dentro del
logaritmo sea mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
El dominio es R.
Dominio de
la función seno
El dominio es R.
Dominio de
la función coseno
El dominio es R.
FUNCIÓN
INYECTIVA.
En matemáticas, una función es inyectiva
si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el
conjunto (imagen) de. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde
un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que
tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva,
puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio
se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces
sí se obtiene una función inyectiva.
Cardinalidad de inyectividad
Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen
cardinales que cumplen:
Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe
una aplicación biyectiva entre A y B
Una función es inyectiva si cada f(x) en
el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En
otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no
se repiten.
Para determinar si una función es
inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados.
Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las
ordenadas) se repiten o no.
Una función es inyectiva si
cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del
dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la
función , y no se repiten. Para determinar si una función es inyectiva,
graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos
líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
Función sobreyectiva
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva,
suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir,
cuando la imagen, o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de
"Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también
llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos
un elemento de A , bajo f .
A elementos diferentes en un conjunto de partida
le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo
elemento R es imagen de algún elemento X del dominio
Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.
Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:
Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B
Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva , si y
sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .
Si cada elemento de B
es imagen de un solo elemento de A,
diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva
cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen
simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.
NOTA: para que una función sea biyectiva debe salir una y sólo una flecha de cada uno de los elementos del
Dominio e ir a parar a distintos elementos del Codominio. No puede quedar
ningún elemento del Dominio sin pareja,
y ningún elemento del Codominio sin ser pareja de alguno del Dominio.
MALDITO XD XD XD
ResponderEliminarMamamelo Maldito profesor de mierda :D
ResponderEliminardados los conjuntos A =1,2,3 B =1,3,4,5,7,9 determina por extencion el dominio y el rango de la las siguientes funciones
ResponderEliminar:`v no me prodia dejar solo las diferencias y no un discurso de 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Eliminarpalabras
No entendí!!! pero gracias!!!
ResponderEliminarbien
ResponderEliminarmaten a su madre no encontre lo que buscaba mueranse
ResponderEliminarGracias me ayudó buena info que Dios te bendiga
ResponderEliminargracias
ResponderEliminarMe salvo el Año :') Gracias!!
ResponderEliminarme ayudo mucho, gracias!
ResponderEliminargracias c:
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