Los números enteros.
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los
números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa
por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades
(como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto
elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados,
los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
En la matemática moderna el conjunto de los
números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y
llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en
rigor no existe un comienzo,
salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los
números naturales forma el conjunto de los Cardinales).
El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos
(negativos) y el cero.
¿Cómo se forman los números enteros?.
Se
dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
Representación de los números
enteros.
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Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente
forma:
- Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale el valor 0.
- Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asígnale el valor 1.
La distancia entre ambos puntos será la unidad de medida de longitud.
Si marcas esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es
el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y así
sucesivamente representas todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
.....
- Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los
números negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, ......
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SUBCONJUNTOS DE NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los
números enteros está formado por:
- Todos los números menores que
0: se escriben con signo negativo, y es el conjunto de todos los inversos
aditivos de los números de signo positivo. Todos los enteros negativos son
menores que 0, y son menores que cualquier número positivo.
- El cero: es un número sin
signo, es el resultado único que arroja la suma de un número entero
cualquiera, con su inverso aditivo. El 0 es mayor que cualquier número
negativo, y menor que cualquier número positivo.
- Todos los números mayores que
0: se escriben sin signo, o con un signo positivo delante; es idéntico al
conjunto de números naturales, y también se puede considerar como el
conjunto de todos los inversos aditivos de los números con signo negativo.
Todos los números enteros positivos son mayores que 0, y en consecuencia
mayor que cualquier número negativo.
Valor
absoluto de un número entero
El valor
absoluto de un número
entero es el número
natural que
resulta al suprimir su signo.
|−a| = a |a| = a
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número
natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y
a -a si es negativo. Es decir:
• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.
Criterios
para ordenar los números enteros
1. Todo
número negativo es menor que cero. −7 < 0
2. Todo número positivo es mayor que cero. 7
> 0
3. De
dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7 >− 10
|−7|
< |−10|
4. De los enteros positivos, es mayor el que
tiene mayor valor absoluto. 10 >
7 |10|
> |7|
OPERACIONES BIEN
DEFINIDAS EN LOS NÚMEROS ENTEROS
Para que una operación binaria (suma,
resta, multiplicación o división) esté bien definida en los números enteros, el
resultado de dicha operación debe ser otro número entero. A esta propiedad se
le llama PROPIEDAD DE CERRADURA DE UNA OPERACION EN UN CONJUNTO DE NUMEROS. Las
condiciones observadas son las siguientes:
- LA SUMA ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NÚMEROS
ENTEROS.
- LA RESTA ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS
ENTEROS, SIENDO UN CASO ESPECIAL DE LA MISMA SUMA
- LA MULTIPLICACION ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS
NUMEROS ENTEROS, SIENDO UN CASO ESPECIAL DE LA SUMA, IGUALMENTE.
- LA DIVISION NO ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS
ENTEROS, PUES NO TODAS LAS DIVISIONES DE DOS ENTEROS VA A DAR OTRO NUMERO
ENTERO.
- LA
POTENCIACION ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS NUMEROS ENTEROS, PUES ES UN CASO
ESPECIAL DE LA MULTIPLICACION, Y EN CONSECUENCIA UN CASO ESPECIAL DE LA
SUMA.
- LA RADICACION NO ESTA BIEN DEFINIDA EN LOS
NUMEROSENTEROS, PUES NO TODOS LOS RADICALES DE NUMEROSENTEROS VAN A SER
OTROS NUMEROS ENTEROS.
Suma de números
enteros
Suma en Z (Conjunto
de Números Enteros positivos y negativos):
Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números
con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando
dos números tiene igual signo se debe sumar
y conservar el signo.
Ejemplos: –
3 + – 8 = –
11 (sumo y conservo el signo)
12
+ 25 = 37 (sumo
y conservo el signo)
b) Números
con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del
número que tiene mayor valor absoluto (recuerda
que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe
considerar el número sin su signo).
Ejemplo: –
7 + 12 = 5
(tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de
distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con
cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12
es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido
a esto el resultado es un número positivo).
5 + –
51 = – 46 (es negativo porque el 51 tiene
mayor valor absoluto)
– 14 +
34 = 20
Propiedades
de la suma de números enteros
1. Interna:
a + b
3 +
(−5)
2. Asociativa:
(a
+ b) + c = a + (b + c) ·
(2 +
3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5
= 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 +
(− 5) = (− 5) + 2
− 3 =
− 3
4. Elemento
neutro:
a + 0 = a (−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
− (−5) = 5
Resta en Z
Para restar dos números o más, es necesario
realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta
b) Cambiar el signo del
número que está a la derecha
del signo de operación por su signo contrario
Ejemplo: –3 – 10
a) cambiamos el signo de resta por el de
suma:
–3 +
10
b) cambiamos el signo del número que está a la derecha del signo
de operación (que ahora es el +): se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.
Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a) Cambiar el
signo de la resta en suma y
– 3 + – 10 =
–13 (signos iguales se suma y conserva el signo)
Ejemplo:
19 – – 16
a) cambiamos el signo de resta por el de
suma:
19 + –16
b) cambiamos el signo del número que está a
la derecha (– 16) del signo de operación (que ahora es el +):
19 + + 16 = 19 + 16
= 35
Propiedades de
la resta de números enteros
1. Interna: a
− b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa: a
- b ≠ b - a
5
− 2 ≠ 2 – 5
Multiplicación de
Números Enteros
La regla que se utiliza es
la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los
números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:
+ •
+ = +
– • –
= +
+ • –
= –
– • +
= –
Ejemplos: –
5 • – 10 =
50 (5 • 10
=
50; – • –
= +)
12 • – 4 = –
48 (12 • 4 =
48; + • – = –)
Propiedades de
la multiplicación de números enteros
1. Interna: a · b
2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 ·
3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 ·
(−5) = 2 · (−15)
-30 =
-30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 ·
(−5) = (−5) · 2 -10 = -10
4. Elemento
neutro: a
·1 = a (−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)·
(3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)·
8 =- 6 - 10
-16 =
-16
6. Sacar
factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
La división de números
enteros.
Para dividir números enteros debes que tener en cuenta las misma reglas que en la multiplicación.
¡Atención!
La división no es una operación interna en el
conjunto de los números enteros. Es decir que al dividir dos números enteros
puede ser que no resulte otro número entero.
Potenciación con números enteros (n > 1, n € N)
Se utiliza para abreviar
la multiplicación de un mismo número cuyo producto se realiza varias veces
El producto a·a·a·a·a·a tiene sus seis factores iguales. Este producto se indica en forma abreviada como a6.
El producto a·a·a·a·a·a tiene sus seis factores iguales. Este producto se indica en forma abreviada como a6.
a6 se llama potencia de base a y exponente 6.
Potencia es una operación que consiste en multiplicar la base por si mismo tantas veces como indique el exponente
Ejemplo: 53 es una potencia que tiene por base 5 y por exponente 3; por eso multiplicamos la base 5 tres veces: 53 = 5·5·5 = 125
Ejemplo : (–3)2 es una potencia de base (–3) y exponente 2; multiplicamos la base (–3) dos veces: (– 3)2 = (– 3)·(– 3) = 9
Propiedades de la potencia:
Todo número elevado a 1, es el propio número.
Ejemplo: 51 = 5; 41 = 4: (–11)1 = –11.
El exponente 1 no se escribe (no se pone); por lo tanto todo número que no tiene exponente, se supone que es 1
El exponente 1 no se escribe (no se pone); por lo tanto todo número que no tiene exponente, se supone que es 1
Todo número (distinto de cero) elevado a 0 es 1.
Ejemplo: 110 = 1; 3290 = 1; –70 = –1
Conclusiones:
– Si la base es positiva, el resultado de la operación siempre es positiva sea cual sea el exponente. (En los números naturales la base siempre es positiva)
– Si la base es negativa, el resultado de la operación depende del exponente:
Si el exponente es par el resultado es positivo (el producto de dos signos negativos da resultado positivo: (–)·(–) = +
Si el exponente es impar el resultado es negativo (siempre queda un signo negativo sin aparear).
Para que la base sea negativa tiene que estar entre paréntesis, en cuyo caso también hay que elevar el signo “ – “
Ejemplos:
25 = 2·2·2·2·2 = 32
(– 5)3 = (– 5)·(– 5)·(– 5) = –125 (base negativa con exponente impar: por tanto el signo también se multiplica tres veces).
(–7)4 = (–7)·(–7)·(–7)·(–7) = 2 401 (base negativa con exponente par: el signo se efectúa 4 veces).
– 34
= – 3·3·3·3 = – 81 (la base positiva: se
eleva sólo la base y el signo se deja como esta)
(–3)4 = (–3)·(–3)·(–3)·(–3) = 81 (la base negativa y el signo también se eleva).
Propiedades de
las potencias:
Si tienen la misma base:
– El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
– El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
Ejemplo: 32·33 = 32+3 = 35 = 3·3·3·3·3 = 243;
– El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.
Ejemplo: 46 : 43 = 46–3 = 43 = 4·4·4 = 64
Ejemplo : 75 : 73 = 75–3 =72 = 7·7 = 49
Si tienen el mismo exponente:
– El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo.
Ejemplo: 23·73 = (2·7)3= 143 = 14·14·14 = 2744
– El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo.
Ejemplo : 86 :46 = (8:4)6 = 26 = 2·2·2·2·2·2= 64.
Por último:
– La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto de los exponentes
Ejemplo : (43)2 = 43·2 = 46 = 4·4·4·4·4·4 = 4096
Ejercicio : (–2)5.(–2)4 = (–2)5+4 = (–2)9 = (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2) = – 512
Ejercicio : ((–4)3 )2= (–4)3·2 = (–4)6 = (–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4) = 4096
Ecuaciones en
números enteros.
Es una igualdad
entre dos expresiones algebraicas, los cuales se denominan miembros de la
ecuación. En ellas aparecen números y letras (incógnita) relacionadas mediante
una operación matemática.
Ecuaciones Lineales
Una ecuación es
una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado incógnita.
En las ecuaciones lineales la incógnita no está elevada a ninguna potencia.
Ejemplo 4x + 3
= 23
Para resolver
esta ecuación se debe colocar en un lado de la igualdad los términos
con incógnita y al otro lado de la igualdad los datos numéricos y luego
realizar las operaciones según corresponda.
4x + 3 = 23
4x
= 23 + -3
4x
= 20
x = 20
4
x = 5
profe soy angel esta muy bien
ResponderEliminargracias angel pero éste es el que te tocaba revisar?
Eliminarprofe soy jose antonio esta bien
ResponderEliminarGracias estamos para servirle.
EliminarProfesor ...siguiendo Vicente Olivar lo imprimire gracias.
ResponderEliminarGracias vicente
EliminarHola profesor soy Carla Ramirez me metí para ver la pagina y me gusto, me parece que esta muy bien y que no va ayudar bastante :D
ResponderEliminarQue bueno que te gustó para eso estamos
Eliminarno entiendo
ResponderEliminarok no entiendo mucho pero por ahi voy no?
ResponderEliminarya entiendo es muy fácil
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